O tym, że 1+2+3+ ... = -1/12 i o problemie listonosza

Czy wiesz już drogi czytelniku, że jeden kot ma 9 ogonów? Ma, i można to udowodnić.

Jeżeli żaden kot ma 8 ogonów, a jeden kot ma o 1 ogon więcej niż żaden kot. To jeden kot ma 8+1=9 ogonów. Proste!

Dwóch fizyków, Edmund Copeland i Tony Padilla z University of Nottingham udowodnili, że suma wszystkich liczb naturalnych wynosi -1/12

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + … = -1/12

Przeprowadzenie dowodu jest trochę dłuższe niż u kota z 9 ogonami, ale tak samo łatwe. Dowód bazuje na trzech sumach:

A = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + …
B = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + …
C = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + …

Liczymy A. Ktoś może powiedzieć, że jeżeli nasze liczenie przerwiemy w dowolnym miejscu, to albo uzyskamy 0, albo 1. Ten problem można pragmatycznie opłynąć, mianowicie – suma wynosi albo 1albo 0, te dwa warianty mogą wystąpić z jednakowym prawdopodobieństwem, zatem suma ta to wartość średnia z 0 i 1, czyli A = 1/2 (patrz szereg Grandiego)

Przejdźmy do B, policzmy

2*B = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + …
             + 1 - 2 + 3 - 4 + 5 + …
       = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + …
       = A

2*B = A = 1/2
B = 1/4

Ostatni krok, to wyliczenie C

C - B = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + …
          -(1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + …)
         = 0 + 4 + 0 + 8 + 0 + 12 + …
          = 4 + 8 + 12 + ... = 4*(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + …) = 4*C

C – B = 4*C
3*C = -B
C = -B/3
C = - 1/4 : 3
C = -1/12

Kto jednak dalej sądzi, że to żart, może wejść na stronę Terence Tao, jednego z najlepszych specjalistów na świecie z dziedziny teorii liczb i się przekonać.

Dlaczego wzór ma takie szczególne znaczenie? Otóż Przyczyna leży w funkcji dzeta Riemanna

Dla funkcja dzeta Riemanna przedstawia się wzorem:

ze zbiorów Instytutu Matematyki w Getyndze

Funkcja ta daje się jednoznacznie przedłużyć analitycznie na całą płaszczyznę zespoloną nie licząc punktu s = 1, gdzie funkcja przechodzi w rozbieżny szereg harmoniczny. Dzeta Riemanna ma tzw. trywialne miejsca zerowe dla s = -2, -4, -6, ... . Z funkcją dzeta związany jest jeden z najważniejszych problemów współczesnej matematyki – hipoteza Riemanna. Hipoteza Riemanna mówi, że wszystkie pozostałe miejsca zerowe znajdują się na prostej

Clay Mathematics Institute ufundował nagrodę w wysokości 1 miliona dolarów za dowód lub obalenie hipotezy Riemanna.

Aby znaleźć wartość funkcji dzeta dla s o części rzeczywistej mniejszej od 1, można posłużyć się wzorem rekurencyjnym:

gdzie Γ to funkcja Γ (gamma) Eulera.

Podstawmy s = -1

gdzie (patrz problem bazylejski i dowód Eulera) i stąd

zatem:

Wszystko się zgadza, poza jednym małym "ale", funkcja dzeta Riemanna zdefiniowana jest dla

To nie jest wcale taka nowa historia. Już w 1910 roku znalazł się jeden odważny, który twierdził, że
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + … = -1/12 Był nim hinduski matematyk Ramanujan, a to twierdzenie opublikował w Journal of the Indian Mathematical Society.

Publikacja wywołała gwałtowne dyskusje wśród matematyków. Profesor Hill z Unieversity Colleg z Londynu skwitował to krótko: "Pan Ramanujan został ofiarą pułapek bardzo trudnej dziedziny szeregów rozbieżnych".

A co ma z tym wszystkim wspólnego listonosz? Listonosz ma dostarczyć bardzo ważną przesyłkę, ale szuka adresu, Nie wie, czy dobrze trafił. Pod jakim numerem znalazł się nasz listonosz?